Para jogar Game Boy / Game Boy Color em seu aparelho celular, você vai precisar do emulador MeBoy. O único requisito é que seu telefone tenha suporte ao Java Micro Edition, famoso MIDP 2.0. (se seu celular roda os jogos deste site, então ele têm).
Com o MeBoy você pode salvar os jogos, deste que seu telefone tenha espaço disponível, normalmente alguns Kbytes.